\section{线性相关性}

\begin{frame}{列向量组的线性关系}

以下我们一般在一固定的数域 $P$ 上的 $n$ 维列向量空间 $P^{(n)}$ 中进行讨论（偶尔提及行向量），不再每次说明了。
这些讨论同样适用于行向量空间$P^n$中的向量（课本上直接讨论的是行向量），我们在本节最后把列向量组相关的结果搬到行向量组上。

\pause
在这一节我们来进一步研究向量之间的关系。 两个向量之间最简单的关系是成比例。
所谓向量 $ \alpha$ 与 $ \beta$ 成比例就是说有一数 $k$, 使
\(
 \alpha=k  \beta.
\)
\pause
在多个向量之间，成比例的关系表现为线性组合。

\begin{definition}%定义9 
  向量 $ \alpha$ 称为向量组 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{s}$ 的一个\emph{线性组合} (linear combination)， 如果有数域 $P$ 中的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$, 使
\[
 \alpha=k_{1}  \beta_{1}+k_{2}  \beta_{2}+\cdots+k_{s}  \beta_{s} .
\]
\pause
$k_{1}  \beta_{1}+k_{2}  \beta_{2}+\cdots+k_{s}  \beta_{s}$这种形式本身也称为$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$的一个线性组合。
\end{definition}

\pause
这里我们说明下向量组的概念。向量组就是指一组向量（有限个）(a list of vectors)。
因为向量组中我们允许向量重复地出现，所以不要把向量组想成是无序集，而应该想成有序集。
也因此，我们也会按$(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)$的形式来写表示一组向量 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$; 
这样的表示形式与数组的表示是一致的 (更一般地，我们常如此表示有限的有序集，见第六章\S1)。
尽管向量组是有序集，我们关心的事情本质上与顺序无关，换个顺序结论依然成立；
有时为了讨论方便，我们可能换个顺序再讨论。
另外，为了简化记号，有时我们也会用单个符号，如$S$, 表示一个向量组，
当然我们心目中是一组向量$(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$.
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
由定义可以立即看出， 零向量是任一向量组的线性组合 (只要取系数全为 $0$ 就行了)。
\end{example}

\pause
  \begin{example}
任一个 $n$ 维向量 
\[
   \alpha=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{pmatrix}
\]
都是向量组
\begin{equation}\tag{1}
   \varepsilon_{1} =\begin{pmatrix}1 \\ 0\\ \vdots \\ 0\end{pmatrix},  \quad
   \varepsilon_{2} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\  \vdots\\  0\end{pmatrix}, \quad
  \cdots,\quad 
   \varepsilon_{n} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}.
\end{equation}
的一个线性组合，
\pause
因为
\[
  \alpha=a_{1} \varepsilon_{1}+a_{2} \varepsilon_{2}+\cdots+a_{n} \varepsilon_{n}.
\]
向量 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 称为 \emph{$n$ 维单位向量} ($n$-dimensional unit vector)。
\end{example}


\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{example}\label{19D}
  §1 的方程组~\eqref{解线性方程组举例}~
  \[
    \left\{\begin{array}{l}
        2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1 \\
      4 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}=4 \\
    2 x_{1}-x_{2}+4 x_{3}=-1 .
\end{array}\right.
\]
的三个方程可以用向量
\[
 \alpha_{1}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 3 & 1\end{pmatrix}, \quad  \alpha_{2}=\begin{pmatrix}4 & -2 & 5 & 4\end{pmatrix}, \quad \alpha_{3}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 4 & -1\end{pmatrix}
\]
来代表。 我们知道， 第三个方程等于第一个方程的 $3$ 倍减去第二个方程， 这等价于 $\alpha_{3}=3  \alpha_{1}- \alpha_{2}$. 这个等式表示 $ \alpha_{3}$ 是 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}$ 的一个线性组合。

\pause
另一方面，根据向量的运算可知，该线性方程组也相当于向量方程
\[
  x_1 \beta_1 + x_2 \beta_2 + x_3 \beta_3 = \beta,
\]
其中
\[
  \beta_1= \begin{pmatrix}
      2 \\4 \\ 2 
      \end{pmatrix},\quad 
      \beta_2=  \begin{pmatrix}
  -1 \\ -2 \\-1
  \end{pmatrix},\quad
  \beta_3=\begin{pmatrix}
      3 \\ 5 \\ 4
      \end{pmatrix},\quad
      \beta=\begin{pmatrix}
          1 \\ 4 \\ -1
          \end{pmatrix}.
      \]
    解出$x_1,x_2,x_3$相当于找到把$\beta$表示成$\beta_1, \beta_2, \beta_3$的线性组合的系数。
  \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

一般地，线性方程组可以看作一个向量方程。设线性方程组为
\begin{equation}\tag{2}
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1},  \\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s} .
\end{array}\right.
\end{equation}
\pause
引入向量
\begin{equation}\tag{3}
   \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
    a_{11}  \\
  a_{21} \\
\vdots \\
a_{s 1}
\end{array}\right), \quad 
\pause
 \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
  a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{s 2}
\end{array}\right), \quad \cdots, \quad 
\pause
 \alpha_{n}=\left(\begin{array}{c}
  a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{s n}
\end{array}\right), \quad 
\pause
 \beta=\left(\begin{array}{c}
  b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{s}
\end{array}\right),
\end{equation}
\pause
于是线性方程组 (2) 可以改写成向量方程
\begin{equation*}
x_{1}  \alpha_{1}+x_{2}  \alpha_{2}+\cdots+x_{n}  \alpha_{n}= \beta . 
\end{equation*}
\pause
显然，\emph{线性方程组 (2) 有解的充分必要条件为向量 $ \beta$ 可以表成向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots$, $ \alpha_{n}$ 的线性组合}。

\end{frame}

\begin{frame}
当向量 $ \alpha$ 是向量组 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{s}$ 的一个线性组合时，我们也说 $ \alpha$ 可以经向量组 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{s}$ \emph{线性表出}。

\pause
\begin{definition}%定义10 
如果向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{t}$ 
中每一个向量 $ \alpha_{i}$ ($i=1,2, \cdots, t$) 
都可以经向量组$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$线性表出，
那么向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t$
就称为可以经向量组$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ \emph{线性表出} (linearly generate)。 
如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为\emph{等价} (linearly equivalent)。
向量组$S, T$等价记作$S\sim T$.
\end{definition}

\pause
\begin{example}
设
\[
   \alpha_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \; \alpha_{2}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}; \quad
 \beta_{1}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix}, \;  \beta_{2}=\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}.
\]
则
\[
  \begin{cases}
\beta_1=2\alpha_1-\alpha_2\\
\beta_2=\alpha_2-\alpha_1,
\end{cases}\quad
\begin{cases}
\alpha_1=\beta_1+\beta_2\\
\alpha_2=\beta_1+2\beta_2.
\end{cases}
\]
\pause
因此向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}$ 与向量组 $ \beta_{1},  \beta_{2}$ 是等价的。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{observation*}
向量组之间的等价这个关系有以下性质：
\begin{enumerate}
  \item 自反性 ($S \sim S$)：每一个向量组都与它自身等价。
  \item 对称性 (若$S\sim T$, 则$T\sim S$)： 
    如果向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 
    与 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{t}$ 等价，
    那么向量组 $ \beta_{1}$, $ \beta_{2}, \cdots,  \beta_{t}$ 
    也与 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 等价。%
    \footnote{等价是线性表出这个关系的对称化。}
  \item 传递性 (若$R\sim S, S\sim T$, 则$R\sim T$)：
    如果向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 
    与 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{t}$ 等价，
    $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{t}$ 与 
    $ \gamma_{1}$, $ \gamma_{2}, \cdots,  \gamma_{p}$ 等价，
    那么向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_s$ 与 $ \gamma_{1},  \gamma_{2}, \cdots,  \gamma_{p}$ 等价。
    \end{enumerate}
\end{observation*}
\pause
集合上满足自反性、对称性、传递性的关系在数学中很基本，被称为该集合上的一个\emph{等价关系}。
上面的观察说的正是向量组之间的等价是等价关系。

\pause
\begin{proof}
  等价的定义的叙述本身就是对称的，故对称性成立。要证明自反性和传递性，只用证明\emph{线性表出这个关系具有自反性和传递性}。
  线性表出的自反性是显然的。
我们来验证线性表出的传递性。
%由定义不难证明，每一个向量组都可以经它自身线性表出。 同时，如果向量组 $ \alpha_{1}$, $ \alpha_{2}, \cdots,  \alpha$, 可以经向量组 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta$, 线性表出， 向量组 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{s}$ 可以经向量组 $ \gamma_{1}$, $ \gamma_{2}, \cdots,  \gamma_{p}$ 线性表出，那么向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha$, 可以经向量组 $ \gamma_{1},  \gamma_{2}, \cdots,  \gamma_{p}$ 线性表出。
\pause
事实上，如果
\[
  \begin{aligned}
   \alpha_{i}=\sum_{j=1}^{s} k_{i j}  \beta_{j}, \quad i=1,2, \cdots, t; \qquad
 \beta_{j}=\sum_{m=1}^{p} l_{j m}  \gamma_{m}, \quad j=1,2, \cdots, s,
\end{aligned}
\]
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}

\begin{proof}[续]
  那么
\[
 \alpha_{i}=\sum_{j=1}^{s} k_{i j} \sum_{m=1}^{p} l_{j m}  \gamma_{m}=\sum_{m=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{s} k_{i j} l_{j m}\right)  \gamma_{m}, \quad i=1,2, \cdots, t .
\]
这就是说， 向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{t}$ 中每一个向量都可以经向量组 $ \gamma_{1},  \gamma_{2}, \cdots,  \gamma_{p}$ 线性表出，因而向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{t}$ 可以经向量组 $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{p}$ 线性表出。
\pause
线性表出的传递性得证。进而易知等价有传递性。
\end{proof}

\pause
\begin{definition}%定义11 
  \label{1AC}
  如果向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ ($s \geqslant 2$) 
  中有一个向量可以由其余的向量线性表出，
  那么向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_s$ 称为\emph{线性相关} (linearly dependent)。
\end{definition}

\pause
\begin{example}\label{140}
向量组 $ \alpha_{1}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix},  \alpha_{2}=\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix},  \alpha_{3}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix}$ 是线性相关的，因为
\[
3  \alpha_{1}- \alpha_{2}= \alpha_{3} .
\]
\end{example}
\end{frame}


\begin{frame}

从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的。 还可看出，向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}$ 线性相关就表示 $ \alpha_{1}=k  \alpha_{2}$ 或者 $ \alpha_{2}=k  \alpha_{1}$ (这两个式子不一定能同时成立).
在 $P$ 为实数域，并且是三维的情形，这就表示向量 $ \alpha_{1}$ 与 $ \alpha_{2}$ 共线。 
三个向量 $ \alpha_{1},  \alpha_{2},  \alpha_{3}$ 线性相关的几何意义就是它们共面，
因为由定义，其中一个向量是另外两个的线性组合，譬如
\[
 \alpha_{1}=k  \alpha_{2}+l  \alpha_{3},
\]
这就是说， $ \alpha_{1}$ 在 $ \alpha_{2}$ 与 $ \alpha_{3}$ 所在的平面上。

\pause
向量组的线性相关的定义还可以用另一个说法：

\begin{definition*}[定义~\ref{1AC}${}^{\prime}$]
  向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 
  ($s \geqslant 1$) 称为\emph{线性相关}， 
  如果有数域 $P$ 中不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$, 使
\[
k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s}  \alpha_{s}=\mathbf{0} .
\]
\end{definition*}

\pause
\begin{assertion*}
这两个定义在 $s \geqslant 2$ 的时候是一致的。
\end{assertion*}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{proof}
  如果向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 按定义~\ref{1AC}~是线性相关的，
那么其中有一个向量是其余向量的线性组合，譬如说
\[
 \alpha_{s}=k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s-1}  \alpha_{s-1}
\]
把它改写一下， 就有
\[
k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s-1}  \alpha_{s-1}+(-1)  \alpha_{s}=\mathbf{0} .
\]
因为数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s-1},-1$ 不全为 $0$ (至少 $-1 \neq 0$ ), 所以按定义~\ref{1AC}$'$, 这个向量组线性相关。

反过来，如果向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 按定义~\ref{1AC}~$'$线性相关， 
即有不全为零的数 $k_{1}$, $k_{2}, \cdots, k_{s}$, 使
\[
k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s}  \alpha_{s}=\mathbf{0} .
\]
因为 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 不全为零， 不妨设 $k_{s} \neq 0$,于是上式可以改写为
\[
 \alpha_{s}=-\frac{k_{1}}{k_{s}}  \alpha_{1}-\frac{k_{2}}{k_{s}}  \alpha_{2}-\cdots-\frac{k_{s-1}}{k_{s}}  \alpha_{s-1} .
\]
这就是说， 向量 $ \alpha$ 可以被其余的向量线性表出，所以此向量组按定义~\ref{1AC}~也线性相关。
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{definition}
  $V$ 中向量组 $ \alpha_1, \cdots,  \alpha_s$ 上的一个\emph{线性关系} (linear relation) 指这些向量线性组合得到零向量的关系式，
  即形如 $\sum_{i=1}^s k_i  \alpha_i=0$ (其中 $k_i\in P$) 的等式。 
所有的 $k_i=0$ 给出的关系称为\emph{平凡}的线性关系；
否则称为\emph{非平凡}的线性关系。
\end{definition}

\pause
这样，$\alpha_1, \cdots, \alpha_s$线性相关相当于$\alpha_1, \cdots, \alpha_s$有非平凡的线性关系。

\pause
一向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$
($s \geqslant 1$) 不线性相关， 即没有不全为零的数 $k_{1}$, $k_{2}, \cdots, k_{s}$, 使
\[
k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s}  \alpha_{s}=\mathbf{0},
\]
就称为线性无关。
\pause
 或者说，
  \begin{definition}%定义12 
    一向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 称为\emph{线性无关} (linearly independent)，如果由
\[
k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s}  \alpha_{s}=\mathbf{0}
\]
可以推出
\[
k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{s}=0.
\]
亦或者说，$ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 称为线性无关，若此向量组只有平凡的线性关系。
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{observation*}
    如果一向量组的一部分线性相关， 那么这个向量组就线性相关。换个说法，
    如果一向量组线性无关， 那么它的任何一个非空的部分组 (sublist) 也线性无关。
\end{observation*}
\pause
特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量。

\pause
\begin{proof}
设向量组为 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}, \cdots,  \alpha_{r}$ ($s \leqslant r$), 
其中一部分， 譬如说， $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 线性相关，
即有不全为 $0$ 的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$, 使
\[
k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s}  \alpha_{s}=\mathbf{0} .
\]
由上式显然有
\[
k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{s}  \alpha_{s}+0  \alpha_{s+1}+\cdots+0  \alpha_{r}=\mathbf{0} .
\]
因为 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 不全为 $0$, 所以 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}, 0, \cdots, 0$ 也不全为 $0$, 因而 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 线性相关。
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{example}
    定义~\ref{1AC}$'$ 包含了由一个向量构成的向量组的情形。
按定义，向量组 $ \alpha$ 线性相关就表示有 $k \neq 0$ (因为只有一个数， 所以不全为零就是它不等于零), 使
\[
k  \alpha=\mathbf{0} .
\]
由数乘的性质推知 $ \alpha=\mathbf{0}$. 因此， \emph{单个向量 $ \alpha$ 线性相关当且仅当 $ \alpha=\mathbf{0}$}.
\end{example}

\pause
\begin{example}
由 $n$ 维单位向量 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 组成的向量组是线性无关的。事实上，由
\[
k_{1} \varepsilon_{1}+k_{2} \varepsilon_{2}+\cdots+k_{n}  \varepsilon_{n}=\mathbf{0},
\]
也就是由
\[
  k_{1}\begin{pmatrix} 1  \\ 0 \\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}+ 
  k_{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\  \vdots\\ 0\end{pmatrix}+\cdots+
  k_{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\  \vdots\\ 1\end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix} k_{1}\\ k_{2}\\ \vdots\\ k_{n}\end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix}
\]
可以推出
\[
k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n}=0 .
\]
这就是说， $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 线性无关。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}

具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题。 

\pause
\begin{example}\label{160}
判断向量组 $ \alpha_{1}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix},  \alpha_{2}=\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix}$, $ \alpha_{3}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix}$ 是否线性相关。
\pause
可取 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为末知数，建立方程式
\[
x_{1}  \alpha_{1}+x_{2}  \alpha_{2}+x_{3}  \alpha_{3}=\mathbf{0},
\]
看它是否有 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 的不全为零的解。
\pause
这是向量等式，按各个分量分别写出方程， 就成为方程组
\[
  \left\{\begin{aligned}
    2 x_{1}+4 x_{2}+2 x_{3} & =0, \\
  -x_{1}-2 x_{2}-x_{3} & =0, \\
3 x_{1}+5 x_{2}+4 x_{3} & =0, \\
x_{1}+4 x_{2}-x_{3} & =0 .
\end{aligned}\right.
\]
前面的含向量的方程有无非零解等价于这个方程组有无非零解。 
\pause
可以用消元法解这个方程组。 
它有无限多解，当然有非零解。 故 $ \alpha_{1},  \alpha_{2},  \alpha_{3}$ 线性相关。 
\pause
特别的一组解，可取为 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(3, -1, -1)$. 
即 $3  \alpha_{1}- \alpha_{2}- \alpha_{3}=\mathbf{0}$, 
或 $ \alpha_{3}=3  \alpha_{1}- \alpha_{2}$. 
这是前面已指出过的结果。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}

一般地，要判别一个向量组
\begin{equation*}
   \alpha_{i}=\begin{pmatrix} a_{1i}\\  a_{2i} \\  \vdots \\ a_{ni}\end{pmatrix}, \quad i=1,2, \cdots, s \tag{4}
\end{equation*}
是否线性相关，根据定义~\ref{1AC}$'$, 就是看方程
\begin{equation*}
x_{1}  \alpha_{1}+x_{2}  \alpha_{2}+\cdots+x_{s}  \alpha_{s}=0 \tag{5}
\end{equation*}
有无非零解。 
\pause
(5) 式按分量写出来就是
\[ \tag{6}
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1s} x_{s}=0, \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2s} x_{s}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n1} x_{1}+a_{n2} x_{2}+\cdots+a_{ns} x_{s}=0 .
\end{array}\right.
\]
\pause
因之， \emph{向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (6) 只有平凡解；线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (6) 有非平凡解。}
\pause
而且，显然找到向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$
的所有线性关系就是找到齐次线性方程组 (6) 所有的解。


\end{frame}

\begin{frame}


  我们在 \S1 中用行化简增广矩阵来解线性方程组，不难相信我们可以通过行化简来判断线性相关性。
  为了判断线性相关性我们建立了线性方程组 (6), 我们需要看其可有非平凡解
  （或者说，该齐次线性方程组的解是否唯一）。
  \pause
  由 \S1 中的讨论可知，我们只用行化简 (6) 的系数矩阵。而 (6) 的系数矩阵显然就是
  $\alpha_1, \cdots, \alpha_s$排成的矩阵$\begin{pmatrix}
    \alpha_1 & \cdots & \alpha_s
  \end{pmatrix}$.
  \pause
  所以进一步由 \S1 中的讨论可知
  
  \begin{proposition}
    \label{1B9}
    要判断向量组$\alpha_1, \cdots, \alpha_s$是否线性相关，
    只用把$\alpha_1, \cdots, \alpha_s$排成一个矩阵$\begin{pmatrix}
        \alpha_1 & \cdots & \alpha_s
      \end{pmatrix}$,
    然后行化简至阶梯形，看阶梯形中非零行的个数是否等于列数，若是，
    则所给向量组线性无关，否则线性相关。
  \end{proposition}
  如此，判断具体的向量组的线性相关性，我们不必再建立线性方程组。
\pause
  \begin{example}
    考虑例~\ref{160}。
    我们把$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$排成的矩阵$\begin{pmatrix}
        \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 
      \end{pmatrix}$行化简到阶梯形：
    \[
      \begin{aligned}
       %& 
       \begin{pmatrix}
        2 & 4 & 2 \\
        -1 & -2 & -1 \\
        3 & 5 & 4 \\
        1 & 4 & -1
      \end{pmatrix}
%      \xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_2} 
%     \begin{pmatrix}
%       -1 & -2 & -1 \\
%        2 & 4 & 2 \\
%        3 & 5 & 4 \\
%        1 & 4 & -1
%      \end{pmatrix} \xrightarrow[r_4+r_1]{r_2+2r_1,r_3+3r_1} \\
%     & \begin{pmatrix}
%       -1 & -2 & -1 \\
%        0 & 0 & 0 \\
%        0 & -1 & 1 \\
%        0 & 2 & -2
%      \end{pmatrix}\xrightarrow[r_2\leftrightarrow r_3]{r_4+2r_3} 
      \longrightarrow
     \begin{pmatrix}
       -1 & -2 & -1 \\
       0 & -1 & 1 \\
        0 & 0 & 0 \\
        0 & 0 & 0
      \end{pmatrix}.
      \end{aligned}
    \]
    既然阶梯形中非零行的个数少于列数，该向量组线性相关。
  \end{example}

\end{frame}


\begin{frame}

  \begin{lemma}\label{16A}
  如果向量组 (4) 线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的 $n+1$ 维的向量组
  \begin{equation*}
     \beta_{i}=\begin{pmatrix}a_{1i}\\ a_{2i}\\ \vdots\\ a_{ni}\\  a_{n+1,i}\end{pmatrix}, \quad i=1,2, \cdots, s
    \tag{7}
\end{equation*}
也线性无关。
\end{lemma}

\pause
\begin{proof}
  向量组 (7) 的线性关系$x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots+x_s\beta_s=0$ 相对应的齐次线性方程组为
\[\tag{8}
  \left\{\begin{array}{rrrrl}
    a_{11} x_{1}& +a_{12} x_{2} & +\cdots & +a_{1s} x_{s}&= 0,  \\
  a_{21} x_{1}& +a_{22} x_{2} & +\cdots & +a_{2s} x_{s}&= 0, \\
& & & \cdots &  \\
a_{n1} x_{1} & +a_{n2} x_{2} & +\cdots & +a_{ns} x_{s}&= 0, \\
a_{ n+1, 1} x_{1} & +a_{n+1,2} x_{2} & +\cdots  & +a_{n+1,s} x_{s}&= 0 .
\end{array}\right.
\]
显然， 方程组 (8) 的解全是方程组 (6) 的解， 如果 (6) 只有零解， 那么 (8) 也只有零解。
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}
从证明可见，添加的位置不限于在最后，我们可以在任一确定的某个分量的位置上插入。
这个结果当然可以推广到添几个分量的情形。
\pause
这样的事实可以粗略地说成：\emph{线性无关的一些向量添加分量后仍线性无关}。
\pause
%另一方面，线性相关的一组向量删去分量仍线性相关。
%另一方面，亦可以证明线性相关的一些向量截断（指对所有向量都删去相同的一些位置上的分量）后仍线性相关。精确的叙述留给读者。


\begin{example}
  由$(1,0,0)^{\rT}, (0,1,0)^{\rT}, (0,0,1)^{\rT}$ 线性无关和引理~\ref{16A}~可知下面的向量组线性无关：
  \[\small
    \begin{pmatrix}
      \framebox{$1$} \\ 1 \\ \framebox{$0$} \\ \framebox{$0$} \\ 4
    \end{pmatrix},  \quad 
\begin{pmatrix}
  \framebox{$0$} \\ 2 \\ \framebox{$1$} \\ \framebox{$0$} \\ 5
    \end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}
  \framebox{$0$} \\ 3 \\ \framebox{$0$} \\ \framebox{$1$} \\ 6
    \end{pmatrix}.
  \]
\end{example}


\pause
利用 \S1 的定理~\ref{015}~可得向量组的一个基本性质。




\begin{theorem}%定理2 
  \label{14A}
设 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 与 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_s$ 是两个向量组。如果
\begin{enumerate}
  \item 向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 可以经 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{s}$ 线性表出;
  \item $r>s$,
\end{enumerate}
那么向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_r$ 必线性相关。
\end{theorem}

为了方便记忆，我们可粗略地说：
（含向量严格）\emph{多的}（向量组）\emph{可由}（含向量严格）\emph{少的}（向量组）\emph{线性表出时}，
（含向量严格）\emph{多的}（那个向量组）\emph{线性相关}。
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{proof}
  由条件 (1) 有
\[
 \alpha_{i}=\sum_{j=1}^{s} t_{j i}  \beta_{j}, \quad i=1,2, \cdots, r .
\]
\pause
为了证明 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 线性相关， 只要证可以找到不全为零的数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$, 使
\[
k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}+\cdots+k_{r}  \alpha_{r}=\mathbf{0} .
\]
\pause
为此，我们作线性组合
\[
x_{1}  \alpha_{1}+x_{2}  \alpha_{2}+\cdots+x_{r}  \alpha_{r}=\sum_{i=1}^{r} x_{i} \sum_{j=1}^{s} t_{j i}  \beta_{j}=\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{s} t_{j i} x_{i}  \beta_{j}=\sum_{j=1}^{s}\left(\sum_{i=1}^{r} t_{j i} x_{i}\right)  \beta_{j} .
\]
\pause
    如果我们能找到不全为零的数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r}$, 使 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{s}$ 的系数全为零， 那就证明了 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 的线性相关性。 这一点是能够做到的，因为由 (2), 即 $r>s$, 齐次方程组
\[
\left\{\begin{array}{c}
t_{11} x_{1}+t_{12} x_{2}+\cdots+t_{1 r} x_{r}=0, \\
t_{21} x_{1}+t_{22} x_{2}+\cdots+t_{2 r} x_{r}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
t_{s 1} x_{1}+t_{s 2} x_{2}+\cdots+t_{s r} x_{r}=0
\end{array}\right.
\]
中未知量的个数大于方程的个数， 根据 \S1 定理~\ref{015}, 它有非零解。
  \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
上述定理有如下推论。
\begin{corollary}%推论1 
  \label{14B}
\begin{enumerate}
  \item 
    \label{14C}
如果向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 可以经向量组 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{s}$ 线性表出， 且 $ \alpha_{1}$, $ \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 线性无关，那么 $r \leqslant s$. 
\item 任意 $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关。
\item \label{1A9}
  两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。 
\end{enumerate}
\end{corollary}
\pause
\begin{proof}
  \begin{enumerate}
    \item 这是定理~\ref{14A}~换了个说法。
      \pause
    \item 每个 $n$ 维向量都可以被 $n$ 维单位向量 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 线性表出， 且 $n+1>n$,
      因而应用定理~\ref{14A}~知$n+1$ 个 $n$ 维向量线性相关。 
      \pause
    \item 由~\eqref{多的向量组可由少的向量组线性表出时多的那个线性相关表述2}~易知。
  \end{enumerate}
\end{proof}

\pause

定理~\ref{14A}~的几何意义是清楚的： 在三维向量的情形， 如果 $s=2$, 
那么可以由向量组 $ \beta_{1},  \beta_{2}$ 线性表出的向量当然都在 
$ \beta_{1},  \beta_{2}$ 所在的平面上， 因而这些向量是共面的， 也就
是， 当 $r>2$ 时，这些向量线性相关。 两个向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}$ 
与 $ \beta_{1},  \beta_{2}$ 等价， 就意味着它们在同一平面上。

\end{frame}

\begin{frame}{极大线性无关组}


\begin{definition}%定义13 
  一向量组的一个部分组称为一个\emph{极大线性无关组}， 如果这个部分组本身是线性无关的， 并且从这向量组中任意添一个向量 (如果还有的话), 所得的部分向量组都线性相关。
\end{definition}
\pause
\begin{example}\label{173}
在向量组 $ \alpha_{1}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix},  \alpha_{2}=\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix},  \alpha_{3}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix}$ 中， 由 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}$组成的部分组就是一个极大线性无关组。 
\pause
化简$\begin{pmatrix}
  \alpha_1 &  \alpha_2 & \alpha_3
\end{pmatrix}$至阶梯形可得
\[
  \begin{pmatrix}
    2 & 4 & 2\\
    -1 & -2 & -1 \\
    3 & 5 & 4 \\
    1 & 4 & -1
  \end{pmatrix} \rightarrow 
  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 1\\
    0 & -1 & 1 \\
    0 & 0 & 0\\
    0 & 0 & 0
  \end{pmatrix}
\]
由$\alpha_1, \alpha_2$的化简结果知$\alpha_1, \alpha_2$线性无关，而整个化简结果又表明
$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性相关，
因此$\alpha_1, \alpha_2$为一极大线性无关组。
%首先， $ \alpha_{1},  \alpha_{2}$ 线性无关，
%因为由
%\[
%  \begin{aligned}
%  k_{1}  \alpha_{1}+k_{2}  \alpha_{2}=
%  k_{1}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}+k_{2}\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix} =
%  \begin{pmatrix} 2 k_{1}+4 k_{2}  \\ -k_{1}-2 k_{2}\\  3 k_{1}+5 k_{2}\\ k_{1}+4 k_{2}\end{pmatrix}=
%  \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},
%\end{aligned}
%\]
%就有 $k_{1}=k_{2}=0$. 
%同时我们知道， $ \alpha_{1},  \alpha_{2},  \alpha_{3}$ 线性相关。 
\pause
不难看出， $ \alpha_{2},  \alpha_{3}$ 也是一个极大线性无关组{\verify}。
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
  应该看到，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组自身。

  ~

  作为后面讨论的一个准备，我们来看看添加向量到一个线性无关的向量组得到的新向量组何时线性无关、何时线性相关。

\begin{lemma}\label{1A8}
设$S=(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)$是线性无关的向量组，$\alpha$是一向量，
记 
  $(S, \alpha)=(\alpha_1,  \cdots, \alpha_s, \alpha)$
为把$\alpha$添加到 $S$ 得到的向量组。
那么 $(S,\alpha)$线性无关当且仅当 $\alpha$不能由$S$线性表出。
\end{lemma}
换种说法亦有：$(S,\alpha)$线性相关当且仅当 $\alpha$能由$S$线性表出。
\pause
\begin{proof}
  由定义~\ref{1AC}~即知 ($\Rightarrow$) 成立。
  反过来，设$\alpha$不能由$S$线性表出。
  令$\sum_{i=1}^s c_i \alpha_i + c \alpha=0$是$(S,\alpha)$的一个线性关系。
  若$c\neq 0$, 则
  \[
    \alpha=c^{-1}\left( -\sum_{i=1}^s c_i \alpha_i \right)=\sum_{i=1}^s \left( -\frac{c_i}{c} \right) \alpha_i,
\]
  与$\alpha$不能由$S$表出的假定矛盾。
  所以$c=0$. 从而$\sum_{i=1}^s c_i \alpha_i=0$. 由于$S=(\alpha_1, \cdots, \alpha_s)$线性无关，所有$c_i=0$. 
  这样$(S,\alpha)$中向量只有平凡的线性关系，即$(S,\alpha)$线性无关。证毕。
\end{proof}


极大线性无关组的一个基本性质是， 
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{lemma}\label{175}
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
\end{lemma}

\pause
不难发现，极大线性无关组就是与该向量组等价的线性无关的部分组。

\pause
\begin{proof}
  设$T$为向量组$S$的一个极大线性无关组。 
  所谓等价就是它们可以互相线性表出。
  显然$T$可由$S$线性表出。反过来，对任意的$\alpha\in S$, 添加$\alpha$到$T$得到的向量组$(T, \alpha)$线性相关。
  由引理~\ref{1A8}~知$\alpha$可由$T$线性表出。因此$S$可由$T$线性表出。
  这就证明了$T, S$等价。
\end{proof}

%事实上， 设向量组为 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}, \cdots,  \alpha_{r}$, 而 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 是它的一个极大线性无关组。 所谓等价就是它们可以互相线性表出。 因为 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 是 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 的一部分，当然可以被这个向量组线性表出，即
%\[
% \alpha_{i}=0  \alpha_{1}+\cdots+1  \alpha_{i}+0  \alpha_{i+1}+\cdots+0  \alpha_{r}, \quad i=1,2, \cdots, s .
%\]
%因此， 问题在于 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}, \cdots,  \alpha_{r}$ 是否可以被 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 线性表出。 向量 $ \alpha_{1}$, $ \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 中每一个都可以被 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 线性表出是显然的。 现在来看 $ \alpha_{s+1}, \cdots,  \alpha_{r}$ 中的向量，设 $ \alpha_{j}$ 是这样一个向量。由极大线性无关组 $ \alpha_{1}, \cdots,  \alpha_{s}$ 的极大性， 向量组 $ \alpha_{1}, \cdots$, $ \alpha_{s},  \alpha_{j}$ 线性相关， 也就是说， 有不全为零的数 $k_{1}, \cdots, k_{s}, l$, 使
%\[
%k_{1}  \alpha_{1}+\cdots+k_{s}  \alpha_{s}+l  \alpha_{j}=\mathbf{0} .
%\]
%因为 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 是线性无关的，可证必有 $l \neq 0$. 否则， 设 $l=0$, 那么 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 就不全为零， 于是 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 线性相关， 这与假设矛盾。 由 $l \neq 0$, 上式可以改写为
%\[
% \alpha_{j}=-\frac{k_{1}}{l}  \alpha_{1}-\frac{k_{2}}{l}  \alpha_{2}-\cdots-\frac{k_{s}}{l}  \alpha_{s}, \quad s<j \leqslant r .
%\]
%这就是说， $ \alpha_{j}(s<j \leqslant r)$ 可以被 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 线性表出。 于是证明了向量组与它的极大线性无关组的等价性。

\pause
  由例~\ref{173}~可以看到， 向量组的极大线性无关组可能不唯一。 
  但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价， 因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。
  \pause
  这样，虽然极大线性无关组可以有很多， 但是由推论~\ref{14B}\eqref{线性无关的等价的向量组基数相同}, 立即得出

\begin{theorem}%定理3 
  \label{172}
一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。 
\end{theorem}

\pause
定理~\ref{172}~表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质。 因此， 我们有
\pause
\begin{definition}%定义14 
  向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的\emph{秩} (rank)。向量组$S$的秩记作 $\rank S$.
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
向量组 
\(
   \alpha_{1}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix},
   \alpha_{2}=\begin{pmatrix}4 \\ -2 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix},
   \alpha_{3}=\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix}
\)
的秩就是 $2$.
\end{example}
\pause

\begin{observation*}
  \begin{enumerate}
    \item 向量组$T$线性无关当且仅当$\rank T=\sharp T$. 亦即，一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。
    \item 若向量组$S_1\sim S_2$, 则$\rank S_1=\rank S_2$. 亦即，等价的向量组必有相同的秩。
  \end{enumerate}
\end{observation*}
这里$\sharp T$表示有限集$T$的基数，即其中元素个数。
\pause

\begin{proof}
  \begin{enumerate}
    \item 
      若一向量组的秩等于其所含向量的个数，显然极大线性无关组只能是整个向量组。反过来， 
      因为线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以线性无关的向量组的秩等于其所含向量的个数。
      \pause
    \item 令$T_1, T_2$分别为$S_1, S_2$的极大线性无关组。
      由引理~\ref{175}~知$T_1\sim S_1, T_2\sim S_2$. 又$S_1\sim S_2$, 
      由等价的传递性可知$T_1\sim T_2$.
      进而由推论~\ref{14B}\eqref{线性无关的等价的向量组基数相同}~知
      $\sharp T_1=\sharp T_2$. 因此$\rank S_1=\rank S_2$. 
  \end{enumerate}
\end{proof}

%我们知道，每一向量组都与它的极大线性无关组等价。 由等价的传递性可知， 任意
%两个等价向量组的极大线性无关组也等价。所以，\emph{}。

%还要指出： 含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组 (参见习题 9). 
%全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组（或者，规定为空集，如果我们规定空集线性无关）。 我们规定这样的向量组的秩为零。

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{exercise}
    证明：若向量组$T$可由向量组$S$线性表出，则$\rank T\leqslant \rank S$.
  \end{exercise}

  \pause
我们接着来来证明极大线性无关组的存在性。
\pause
\begin{proposition}\label{174}
  设$S$为一 (含有非零向量的) 向量组。
  那么 
$S$ 的任一个线性无关的部分组都能扩充成一个极大线性无关组。
  特别地，$S$有极大线性无关组。
\end{proposition}

\pause
\begin{proof}
  令$T$是$S$的线性无关的子集。
  若$T$不是极大，则存在$\alpha\in S$使得$T'=(T, \alpha)$线性无关。
  用$T'$代替$T$讨论。
  一直如此操作下去。由于$S$中只有有限个向量，
  有限步后我们得到一个线性无关的向量组$\tilde{T}$使得任意$\alpha\in S$都满足$(\tilde{T}, \alpha)$线性相关。
  这样$\tilde{T}$就是一个极大线性无关组。

  \pause
  特别地，由于$S$含有非零向量，取一个非零向量，这是线性无关的，进而可以扩充为$S$的一个极大线性无关组，
因此$S$总有极大无关组。
\end{proof}

\pause
如果我们规定空集线性无关，
那么全部由零向量组成的向量组的极大线性无关组为空集
（也可说成没有极大线性无关组）；
特别地，由零向量组成的向量组的秩为$0$.
而且，一旦有此规定，
上面命题的证明即使在去掉``含有非零向量''这个条件后也成立，
从而该命题不必假定向量组有非零向量。

\end{frame}

\begin{frame}

  要找具体的向量组的极大线性无关组，我们不需要按照上述证明中的方法一点点扩充。
  实际上，例~\ref{173}~中的做法可以一般化，
  通过应用命题~\ref{1B9},
  从而得到下面的定理~\ref{165}~所描述的找极大线性无关组的方法。
  但是，为了 以后其他方面的应用，我们来证明一个更精细的结果。
  为此，我们引入两个概念：
  给定一个矩阵，其每列可以看作一个列向量，从而所有列构成一个向量组，
  此向量组称为该矩阵的\emph{列向量组}；
  向量组$\alpha_1, \cdots, \alpha_s$和$\beta_1, \cdots, \beta_s$称为\emph{有相同的线性关系}，
  如果对任意的$s$元数组$(k_1,\cdots,k_s)$, $\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i=0$当且仅当
  $\sum_{i=1}^s k_i\beta_i=0$, 或者说，如果向量方程$\sum_{i=1}^s x_i \alpha_i=0$
  与$\sum_{i=1}^s x_i \beta_i=0$同解。

\pause
\begin{proposition}\label{198}
  %做一次初等行变换得到的矩阵的列向量组和原来的矩阵的列向量组有相同的线性关系。
  %从而
  行化简得到的矩阵的列向量组与原来的矩阵的列向量组有相同的线性关系。
\end{proposition}

\pause
特别地，行化简保持且反映矩阵的的列之间的线性相关性：
若矩阵$A$行化简得到了$A'$, 则$A$的第$j_1, \cdots, j_r$列线性相关（转：无关）当且仅当$A'$的第$j_1, \cdots, j_r$列线性相关（转：无关）。
这样我们可以借助行化简来找列向量构成的向量组的极大无关组（见定理~\ref{165}）。


\pause
\begin{proof}[通过具体的例子 (如例~\ref{19D}, \ref{140}) 解释即可]
  设矩阵$A$和行化简$A$得到的矩阵$A'$分别为
  \[\small
    A=\begin{pmatrix}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
      a_{21}  & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
      \vdots & \vdots &  & \vdots \\
      a_{n1}  & a_{n2} & \cdots & a_{nm} 
    \end{pmatrix},\quad 
    A'=\begin{pmatrix}
      a'_{11} & a'_{12} & \cdots & a'_{1m} \\
      a'_{21}  & a'_{22} & \cdots & a'_{2m} \\
      \vdots & \vdots &  & \vdots \\
      a'_{n1}  & a'_{n2} & \cdots & a'_{nm} 
    \end{pmatrix}.
  \]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{proof}[续]
  $A$的列向量组和$A'$的列向量组
\[\small
  \alpha_1=\begin{pmatrix}
    a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1}
  \end{pmatrix}, \cdots, \alpha_m = \begin{pmatrix}
    a_{1m} \\ a_{2m} \\ \vdots \\ a_{nm}
  \end{pmatrix}; \qquad 
  \alpha'_1=\begin{pmatrix}
    a'_{11} \\ a'_{21} \\ \vdots \\ a'_{n1}
  \end{pmatrix}, \cdots, \alpha'_m = \begin{pmatrix}
    a'_{1m} \\ a'_{2m} \\ \vdots \\ a'_{nm}
  \end{pmatrix}
\]
的线性关系分别相当于
线性方程组
\[\tag{$*$}
 \begin{cases}
    a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2}  +\cdots  +a_{1m} x_{m}= 0,  \\
  a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +\cdots  +a_{2m} x_{m} = 0, \\
\quad \vdots   \\
a_{n1} x_{1} +a_{n2} x_{2} +\cdots +a_{nm} x_{m}= 0;
\end{cases}
\]
和线性方程组
\[\tag{$**$}
 \begin{cases}
    a'_{11} x_{1} +a'_{12} x_{2}  +\cdots  +a'_{1m} x_{m}= 0,  \\
  a'_{21} x_{1} +a'_{22} x_{2}  +\cdots  +a'_{2m} x_{m} = 0, \\
\quad \vdots   \\
a'_{n1} x_{1} +a'_{n2} x_{2} +\cdots +a'_{nm} x_{m}= 0;
\end{cases}
\]
的解。$A'$是对$A$做一系列初等行变换得到，因此线性方程组 ($**$) 是由线性方程组 ($*$) 做了一系列初等变换得到。
由于初等变换不改变解集，上述两个方程组同解。
这就证明了$A'$的列向量组与$A$的列向量组有相同的线性关系。
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}


\begin{theorem}\label{165}
  设$S=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)$为一向量组。记$A=\begin{pmatrix}
    \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_s
\end{pmatrix}$. 设对$A$行化简得到一个阶梯形矩阵$A_1$, 且$A_1$有$r$个非零行，
其中第$k$行 ($1\leqslant k\leqslant r$) 的第一个非零元在第$j_k$列。
那么$(\alpha_{j_1}, \alpha_{j_2}, \cdots, \alpha_{j_r})$为$S$的极大线性无关组。
特别地，$\rank S=r$.
\end{theorem}
\pause
尽管极大线性无关组通常不唯一，定理~\ref{165}~提供了寻找的一个标准方法，
  给出了极大线性无关组的一个标准的选取（按照这个方法，大家得到的都是一样的）。

\pause
\begin{proof}[通过下面的例子解释即可，不必严格证明]
  对$A_1$进一步做行化简可知$A$的既约的阶梯形$A_2$中主元所在的列恰好为第$j_1, j_2, \cdots, j_k$列。
  依次将$A_2$中第$1, j_1$列互换，第$2, j_2$列互换，\ldots, 第$r, j_r$列互换，
  令得到的新矩阵为$A_3$. 显然$A_3$形如
  \[\tag{9}
    \label{16C}
   \left(\begin{array}{ccccccc}
       1 & 0 & \cdots & 0   & * & \cdots & * \\
       0 & 1 & \cdots & 0 & * & \cdots & *\\
    \vdots & \vdots &  & \vdots & \vdots & & \vdots\\
    0 &  0 & \cdots & 1 & *& \cdots & * \\
    && &&&& \symbf{0}
\end{array}\right).
  \]
  (最后一行表示可能存在的一些零行), 且$A_3$有$r$个非零行。
  显然$A_3$中前$r$列线性无关，且后面的所有列都可由这$r$列线性表出。
  相应地，$A_2$中第$j_1, \cdots, j_r$列线性无关，且其余列可由这些列线性表出。
  因此第$j_1, \cdots, j_r$列构成$A_2$的一个极大线性无关组。
%  只用说明既约的阶梯形$A''$中第$j_1,j_2,\cdots,j_k$列构成$A''$的列向量组的极大无关组。记$A''=(a_{ij})$, $A''$的第$j$列为$\alpha''_j$,
%  令$e_i$为第$i$分量为$1$其余分量为$0$的$n$维单位向量。
%  由于$\alpha''_{j_l}=e_l$, 显然$T=(\alpha''_{j_1}, \alpha''_{j_2}, \cdots, \alpha''_{j_k})$线性无关。
%  令$j_{k+1}=s+1$.
%  若$1\leqslant j<j_1$, $\alpha''_j=0$.
%  若$j_l<j<j_{l+1}$ ($1\leqslant j\leqslant k$), 由既约的阶梯形的特征知$m>l$时$\alpha''_j$的第$m$分量为$0$, 故
%  \[
%    \alpha''_j=\sum_{i=1}^l a_{ij} e_i = \sum_{i=1}^l a_{ij} \alpha_{j_i},
%  \]
%  这样$T$是$A''$的列向量组的极大无关组。
  进而由命题~\ref{198}~知
  $A$的第$j_1, j_2, \cdots, j_k$列构成$A$的列向量组的极大无关组。
\end{proof}


\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{exercise}
    \label{199}
    证明矩阵的既约的阶梯形的唯一性。
  \end{exercise}
  
\pause
  \begin{example}\label{1BA}
  我们来找向量组$S=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5)$的一个极大线性无关组，
  其中
  \[
    \alpha_1=\begin{pmatrix}2 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix},\quad 
    \alpha_2=\begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix},\quad 
    \alpha_3=\begin{pmatrix}3 \\ 5 \\ 4\end{pmatrix},\quad 
    \alpha_4=\begin{pmatrix}1 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix},\quad 
    \alpha_5=\begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}.
  \]
  \pause
  考虑
  \[
      A=\begin{pmatrix}
          \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4 & \alpha_5
      \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
      2 & -1 & 3 & 1 & 1 \\
      4 & -2 & 5 & 4 & 3\\
      2 & -1 & 4 & 0 & 1
    \end{pmatrix}.
  \]
  \pause
  行化简$A$至阶梯形得到
  \[\small
    A_1 = \begin{pmatrix}
      \framebox{$2$} & -1 & 3 & 1 & 1\\
      0 & 0 & \framebox{$-1$} & 2 & 1\\
      0 & 0 & 0 & \framebox{$1$} & 1
    \end{pmatrix}.
  \]
  由定理~\ref{165}~知，
  $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$是向量组$S$的一个极大线性无关组。
  特别地，$\rank S=3$, 向量组$S$线性相关。
\end{example}



\end{frame}


\begin{frame}{行向量组的线性关系}

  上面我们讨论了列向量构成的向量组的线性关系。把列向量换成行向量时讨论是平行的。
  课本上就是按行向量讨论的，相关的平行的结论课本上基本上都有，所以我不再细述。
  下面仅以找极大线性无关组为例展示如何把列向量组的结论搬到行向量组上，
  这样我们不必重新从头讨论。

\pause
  我们也有定理~\ref{165}~的行向量的版本：对行向量组，我们逐行排成矩阵后做列化简，化简的目标是所谓的列阶梯形（我们一直说的阶梯形严格说来是行阶梯形）。
  不过我们更习惯于做行化简更习惯用行阶梯形，所以我们写成列向量来操作，这样也省得引入列阶梯形了。
  这是我为什么直接讨论列向量而不是行向量的一个原因
  (总之，列向量有其自然之处)。
  \pause
  我们引入转置的概念来说明把行向量写成列向量这个做法的可行性。
  对行向量$\alpha=(a_1,\cdots,a_n)$, 记$\alpha$写成的列向量为$\alpha^{\rT}$, 即
  \[
    \alpha^{\rT} = \begin{pmatrix}
      a_1 \\ \vdots \\ a_n
    \end{pmatrix}.
  \]
  $\alpha^{\rT}$称为$\alpha$的\emph{转置}。
  \pause
  对列向量$\beta$, 记$\beta$写成的行向量为$\beta^{\rT}$, 也称为$\beta$的\emph{转置}。 
  \pause
  显然，无论$\alpha$是行向量还是列向量，我们都有
  \[
    (\alpha^{\rT})^{\rT}=\alpha.
  \]
  \pause
  因为行向量写起来更方便，我们也常常写$\beta=(b_1,\cdots,b_n)^{\rT}$来表示列向量。
\end{frame}


\begin{frame}

  关于线性关系，容易验证如下事实。
  \begin{lemma}
    \label{1BF}
    给定$P^n$ 中的向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$,
    我们有
    \[
      c_1 \alpha_1+  c_2 \alpha_2 + \cdots  + c_s \alpha_s =0
    \]
    当且仅当
    \[
      c_1 \alpha_1^{\rT} +  c_2 \alpha_2^{\rT} + \cdots  + c_s \alpha_s^{\rT} =0,
    \]
    其中$c_i\in P$.
    也就是说，行向量组$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$与列向量组
    $\alpha_1^{\rT}, \alpha_2^{\rT}, \cdots, \alpha_s^{\rT}$有相同的线性关系。
  \end{lemma}

  \pause
作为推论，我们可知

\begin{proposition}
  \label{1BB}
  设$S=(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s)$为$P^n$ 中的向量组。
  令$S^{\rT}=(\alpha_1^{\rT}, \alpha_2^{\rT}, \cdots, \alpha_s^{\rT})$为转置$S$中向量得到的$P^{(n)}$中向量组。
  \begin{enumerate}
    \item $S$线性无关当且仅当$S^{\rT}$线性无关。
    \item $T$为$S$的一个极大线性无关组当且仅当转置$T$中向量得到的向量组$T^{\rT}$为$S^{\rT}$的一个极大线性无关组。
    \item $\rank S=\rank S^{\rT}$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}

\end{frame}

\begin{frame}
  因此，我们可以把行向量组中的向量转置成列向量，然后按定理~\ref{165}~的方法找极大线性无关组，再对回来。
这也实现了判断线性相关性以及确定秩。
命题~\ref{1BB}~印证了我们之前说的：行向量与列向量没有本质的区别。

\pause
\begin{example}
  考虑向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$, 其中
  \[
    \begin{cases}
      \alpha_1=(1,0,-1,-1), \\
      \alpha_2=(-1,1,2,-2),\\
      \alpha_3=(3,-1,-4,0),\\
      \alpha_4=(2,2,1,1), \\
      \alpha_5=(-9,2,10,-6).
    \end{cases}
  \]
我们把 $\begin{pmatrix}
    \alpha_1^{\rT} & \alpha_2^{\rT} & \alpha_3^{\rT} & \alpha_4^{\rT} & \alpha_5^{\rT}
\end{pmatrix}$ 行化简至既约的阶梯形（我们不仅打算找一个极大线性无关组，我们还想表示出其他向量）：
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

\addtocounter{theorem}{-1}
\begin{example}[续]

\begin{align*}
 & \begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 2 & -9 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 2 \\
-1 & 2 & -4 & 1 & 10 \\
-1 & -2 & 0 & 1 & -6
    \end{pmatrix}\xrightarrow[r_4+r_1]{r_3+r_1}
    \begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 2 & -9 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 3 & 1 \\
0 & -3 & 3 & 3 & -15
    \end{pmatrix} 
    \xrightarrow[r_4+3r_1]{r_3-r_2} \\
    & \begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 2 & -9 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 9 & -9
    \end{pmatrix} 
    \xrightarrow{r_4-9r_3}
    \begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 & 2 & -9 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \end{pmatrix} 
    \xrightarrow{r_1+r_2}\\
    & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 4 & -7 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
    \end{pmatrix} 
    \xrightarrow[r_2-2r_3]{r_1-4r_3} 
    \begin{pmatrix}
      \framebox{$1$} & 0 & 2 & 0 & -3 \\
      0 & \framebox{$1$} & -1 & 0 & 4 \\
      0 & 0 & 0 & \framebox{$1$} & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0       
    \end{pmatrix}.
  \end{align*}
\pause
  由化简结果可知所给向量组的一个极大线性无关组为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$, 
所给向量组的秩为 $3$, 
且 
\[
  \alpha_3=2\alpha_1-\alpha_2, \quad \alpha_5=-3\alpha_1+4\alpha_2-\alpha_4.
\]
\end{example}

\end{frame}


%\begin{frame}
%
%
%现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系、给定一个方程组
%\[
%\left\{\begin{array}{c}
%a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=d_{1},  \tag{1}\\
%a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=d_{2}, \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \\
%a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=d_{s},
%\end{array}\right.
%\]
%各个方程所对应的向量分别是 $ \alpha_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}, d_{1}\right),  \alpha_{2}=\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}, d_{2}\right), \cdots$, $ \alpha_{s}=\left(a_{s 1}, a_{s 2}, \cdots, a_{s n}, d_{s}\right)$. 设有另一方程
%\begin{equation*}
%b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=d, \tag{B}
%\end{equation*}
%它对应的向量为 $ \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}, d\right)$. 则 $ \beta$ 是 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 的线性组合， $ \beta=l_{1}  \alpha_{1}+l_{2}  \alpha_{2}+\cdots$ $+l_{s}  \alpha_{s}$ 当且仅当 $(B)=l_{1}\left(A_{1}\right)+l_{2}\left(A_{2}\right)+\cdots+l_{s}\left(A_{s}\right)$, 即方程 $(B)$ 是方程 $\left(A_{1}\right),\left(A_{2}\right), \cdots,\left(A_{s}\right)$ 的线性组合。 容易验证， 方程组 $\left(A_{1}\right),\left(A_{2}\right), \cdots,\left(A_{s}\right)$ 的解一定满足 $(B)$. 进一步设方程组
%\[
%\left\{\begin{array}{cl}
%b_{11} x_{1}+b_{12} x_{2}+\cdots+b_{1 n} x_{n}=c_{1}, & \left(B_{1}\right) \\
%b_{21} x_{1}+b_{22} x_{2}+\cdots+b_{2 n} x_{n}=c_{2}, & \left(B_{2}\right) \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots
%\end{array}\right.
%\]
%它的方程所对应的向量为 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{r}$. 若 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{r}$ 可经 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 线性表出，则方程组 $\left(A_{1}\right),\left(A_{2}\right), \cdots,\left(A_{s}\right)$ 的解是方程组 $\left(B_{1}\right),\left(B_{2}\right), \cdots,\left(B_{r}\right)$ 的解。 再进一步， 当 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{s}$ 与 $ \beta_{1},  \beta_{2}, \cdots,  \beta_{r}$ 等价时，两个方程组同解。
%
%\end{frame}


\begin{frame}{小结}

  \begin{enumerate}
    \item 何为线性组合？
    \item 何为$n$维单位向量？
    \item 举例说明如何建立线性方程组来判断一个向量是否为一组向量的线性组合？
    \item 何为一个向量可由一向量组线性表出？何为一向量组可由又一向量组线性表出？何为两个向量组等价？
    \item 向量组的等价这个关系满足哪些性质？
    \item 何为一组向量线性相关？一个向量何时线性相关？向量个数不少于$2$个时线性相关又可如何描述？
    \item 何为一组向量的线性关系？何为平凡、非平凡的线性关系？
    \item 何为一组向量线性无关？一个向量何时线性无关？
    \item 向量组的部分组的线性相关性与整个向量组的线性相关性有何关系？
    \item 举例说明一向量组的线性相关性的判断可归结为解齐次线性方程组。如何从所建立的齐次线性方程组判断线性相关性？如何得到该向量组所有的线性关系？
    \item 如何通过行化简判断线性相关性？
    \item 添加分量时线性相关性有何结论？
    \item 多的可由少的线性表出时，多的线性相关。此结论还有个说法是？
    \item 一组$n$维向量有多少个时必定线性相关？
    \item 等价的两个线性无关的向量组包含的向量个数有何关系？
  \end{enumerate}

\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
      \setcounter{enumi}{15}
    \item 何为一向量组的极大线性无关组？
    \item 把一向量添加到一线性无关的向量组时，如何刻画新向量组的线性相关性？
    \item 说说为何极大线性无关组与整个向量组等价。
    \item 说说为何一向量组的极大线性无关组包含相同多向量。
    \item 何为向量组的秩？为何这是良好定义的？
    \item 如何通过秩判断线性相关性？
    \item 等价的两个向量组的秩有何关系？若一向量组可由又一向量组线性表出，
      它们的秩又有何关系？
    \item 举例说明为何行化简得到的矩阵的列向量组与原来的矩阵的列向量组有相同的线性关系。
    \item 举例说明如何通过行化简找一向量组的极大线性无关组、找秩、用该极大线性无关组表示其他向量。分列向量和行向量说。
    \item 说说为何极大线性无关组总存在。
    \item 如何把行向量（转：列向量）构成的向量组关于线性关系的结论搬到列向量（转：行向量）上？为何这个可行？
  \end{enumerate}
  
\end{frame}
